№4. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 м, а его гипотенуза равна 20 м. Найдите катеты треугольника.

Краткая запись: \(P=48\) м, \(c=20\) м.

Пусть катеты равны \(x\) и \(y\). Тогда по периметру:

\(x+y+20=48\Rightarrow x+y=28.\)

По теореме Пифагора:

\(x^2+y^2=20^2=400.\)

Используем формулу \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\):

\(28^2=400+2xy\Rightarrow 784=400+2xy\Rightarrow xy=192.\)

Катеты являются корнями уравнения:

\(t^2-28t+192=0.\)

\(D=28^2-4\cdot192=16\), поэтому

\(t=\dfrac{28\pm4}{2}\), то есть \(t_1=16\), \(t_2=12\).

Ответ: катеты 12 м и 16 м.