4. Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD : CD = 1 : 3. Найдите площадь четырёхугольника EDCK.

Пусть \(BD:DC=1:3\), тогда \(BD=\frac14 BC\). По теореме о биссектрисе \(AB:AC=BD:DC=1:3\).

Положим \(B=(0,0)\), \(C=(4,0)\), так что \(D=(1,0)\). Обозначим координаты A через \((x,y)\). Тогда \(K=(\frac{x+4}{2},\frac y2)\). Пересечение AD и BK находится в точке \(E=(\frac{x+4}{5},\frac y5)\).

По формуле площади координат четырёхугольник EDCK составляет \(\frac{9}{20}\) площади ABC. Поэтому его площадь равна \(80\cdot\frac{9}{20}=36\).

Ответ: 36.