4. Плоскость, проходящая через точки А, В и С (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с большим числом граней?

Решение:

1. Анализ разбиения: Плоскость, проходящая через точки A, B и C, отсекает от куба часть. Точки A и B, вероятно, являются вершинами одной грани куба, а точка C — вершиной противоположной грани, расположенной на ребре.
2. Форма многогранников: Один из многогранников будет иметь 5 граней (пирамида с основанием-трапецией, или треугольная призма, если плоскость проходит через противоположные ребра). Другой будет иметь больше граней.
3. Вершины:
• Если плоскость проходит через диагональ одной грани и точку на противоположном ребре, она отсечет многогранник с 5 вершинами (3 вершины исходной грани, 2 вершины на противоположном ребре).
• Второй многогранник (больший) будет иметь оставшиеся 8 - 5 = 3 вершины из исходного куба, плюс 3 вершины от плоскости разреза. Итого 6 вершин.
• Уточнение по рисунку: Точки A и B расположены на одной грани, C - на ребре, проходящем через противоположную вершину. Плоскость ABC отсечет от куба треугольную призму, если C находится на ребре, параллельном AB. Однако, судя по расположению A и B (на одной стороне грани), C (на другой грани, но не на той, где A и B), плоскость будет проходить через три вершины, не лежащие на одной грани, что отсечет треугольную пирамиду.
• Предполагаемое разбиение: Если A и B — две соседние вершины верхней грани, а C — вершина нижней грани, то плоскость ABC отсечет от куба треугольную пирамиду. У такой пирамиды 4 вершины.
• Рассмотрим другой вариант: Если A и B — две вершины одной грани, а C — вершина смежной грани, то плоскость отсечет многогранник с 5 вершинами.
• Наиболее вероятное разбиение: Плоскость, проходящая через три вершины, не лежащие на одной грани, отсекает от куба треугольную пирамиду. У пирамиды 4 вершины. Оставшийся многогранник имеет 8 (куб) - 4 (пирамида) = 4 вершины, плюс 3 вершины плоскости разреза. Это дает 7 вершин.
• Наибольшее число вершин: 7 вершин.

Ответ: 7