5. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 5, а гипотенуза равна 29. Найдите объём призмы, если её высота равна 15.

Дано:

• Основание призмы: прямоугольный треугольник.
• Один катет (a) = 5.
• Гипотенуза (c) = 29.
• Высота призмы (h) = 15.

Найти:

• Объём призмы (V)

Решение:

1. Нахождение второго катета (b): Используем теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$.
• \[ 5^2 + b^2 = 29^2 \]
• \[ 25 + b^2 = 841 \]
• \[ b^2 = 841 - 25 \]
• \[ b^2 = 816 \]
• \[ b = \sqrt{816} = \sqrt{16 \times 51} = 4\sqrt{51} \]
2. Нахождение площади основания (S_осн): Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
• \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times a \times b \]
• \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times 5 \times 4\sqrt{51} \]
• \[ S_{осн} = 10\sqrt{51} \text{ см}^2 \]
3. Нахождение объёма призмы: Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
• \[ V = S_{осн} \times h \]
• \[ V = 10\sqrt{51} \times 15 \]
• \[ V = 150\sqrt{51} ext{ см}^3 \]

Ответ: 150√51