4. Плоскости α и β параллельны. Дано: прямые a и b пересекаются в точке O; OA = 5, OB = 4, OA₁ = 3, A₁B₁ = 6. Найти: AB и OB₁.

Так как α ∥ β, отображение из α в β с центром O является гомотетией. Её коэффициент по абсолютной величине равен отношению расстояний от O до соответствующих плоскостей: \(k = \frac{OA₁}{OA} = \frac{3}{5}\).

Соответствующие отрезки изменяются в таком же отношении: \(A₁B₁ = k \cdot AB\). Поэтому \(AB = \frac{6}{3/5} = 10\).

Также \(OB₁ = k \cdot OB = \frac{3}{5} \cdot 4 = \frac{12}{5} = 2.4\).

Ответ: AB = 10; OB₁ = 2.4.