4. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая AB лежит в плоскости α, а CD — в плоскости β. Что нужно изменить в условии, чтобы прямые AC и BD пересекались? В каком случае это возможно?

Чтобы прямые AC и BD пересекались, точки A, B, C и D должны быть компланарными, то есть лежать в одной плоскости. Тогда AC и BD являются диагоналями плоского четырёхугольника ABDC и пересекаются.

Для этого достаточно изменить условие так, чтобы прямые AB и CD были компланарны: они должны либо быть параллельными, либо пересекаться. Если AB и CD параллельны, то плоскость, содержащая AB и CD, пересекает плоскости α и β по этим прямым, а точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Если AB и CD пересекаются, то их точка пересечения должна лежать на прямой \(m=\alpha\cap\beta\), поскольку AB лежит в α, а CD — в β.

Ответ: необходимо потребовать, чтобы AB и CD были компланарными; это возможно, если \(AB\parallel CD\) или если AB и CD пересекаются на прямой m.