4. По рис. 14 докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) является прямоугольником и найдите его площадь.

По подписанным координатам на рисунке получаем \(A=(0;-4)\), \(B=(-3;0)\), \(C=(5;6)\), \(D=(8;2)\).

Проверим заявленное свойство по координатам: \(\overrightarrow{AB}=(-3;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(8;6)\), \(\overrightarrow{CD}=(3;-4)\), \(\overrightarrow{DA}=(-8;-6)\). Стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, как и \(BC\) и \(DA\), но соседние стороны не перпендикулярны: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=(-3)\cdot8+4\cdot6=0\) — точнее, это произведение равно нулю, поэтому соседние стороны перпендикулярны. Однако длины соседних сторон равны \(AB=5\) и \(BC=10\), значит, по этим координатам получается прямоугольник.

Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних сторон: \(S=5\cdot10=50\).

Ответ: \(ABCD\) — прямоугольник, его площадь равна 50 квадратным единицам.