4. По рис. 16 докажите, что m ⟂ n, если ∠2 − ∠3 = ∠1.

Обозначим угол, вертикальный углу ∠1, также через ∠1. Он расположен между правым лучом прямой n и наклонным лучом.

Три угла, расположенные по одной стороне прямой m, образуют развёрнутый угол:

∠2 + ∠1 + ∠3 = 180°.

По условию ∠2 − ∠3 = ∠1, значит ∠2 = ∠1 + ∠3.

Подставим это равенство:

(∠1 + ∠3) + ∠1 + ∠3 = 180°;
2(∠1 + ∠3) = 180°;
∠1 + ∠3 = 90°.

Но ∠2 = ∠1 + ∠3, следовательно, ∠2 = 90°.

Так как ∠2 — угол между прямыми m и n, то эти прямые перпендикулярны.

Ответ: m ⟂ n.