4. Покажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Обозначим ромб через \(ABCD\), а середины его сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) — через \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) соответственно.

В треугольнике \(ABC\) отрезок \(EF\) соединяет середины двух сторон, поэтому \(EF\parallel AC\). Аналогично в треугольнике \(CDA\): \(GH\parallel AC\). Значит, \(EF\parallel GH\).

В треугольниках \(BCD\) и \(DAB\) отрезки \(FG\) и \(HE\) соединяют середины сторон, поэтому \(FG\text{ и }HE\parallel BD\). Следовательно, четырёхугольник \(EFGH\) — параллелограмм.

Диагонали ромба перпендикулярны, то есть \(AC\perp BD\). Так как стороны \(EFGH\) параллельны соответственно этим диагоналям, соседние стороны \(EF\) и \(FG\) перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Следовательно, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.