4. Постройте график функции y = 1/2 x² - 3x + 4 и укажите промежутки ее возрастания и убывания.

Решение:

Данная функция \( y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 \) является квадратичной функцией, графиком которой будет парабола.

1. Направление ветвей параболы: Коэффициент при \( x^2 \) равен \( \frac{1}{2} \), что больше нуля. Следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины параболы:
• Абсцисса вершины \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-3)}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{1} = 3 \).
• Ордината вершины \( y_в = \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) + 4 = \frac{1}{2} \cdot 9 - 9 + 4 = 4.5 - 9 + 4 = -0.5 \).
• Вершина параболы находится в точке \( (3, -0.5) \).
3. Пересечение с осью y: При \( x = 0 \), \( y = 4 \). Точка пересечения \( (0, 4) \).
4. Пересечение с осью x: Найдем корни уравнения \( \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 = 0 \). Умножим на 2: \( x^2 - 6x + 8 = 0 \).
• Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \).
• \( x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \).
• \( x_1 = \frac{6+2}{2} = 4 \).
• \( x_2 = \frac{6-2}{2} = 2 \).
• Точки пересечения с осью x: \( (2, 0) \) и \( (4, 0) \).
5. Промежутки возрастания и убывания:
• Функция убывает при \( x < x_в \), то есть при \( x < 3 \).
• Функция возрастает при \( x > x_в \), то есть при \( x > 3 \).

Ответ: Промежутки возрастания: \( [3; +\infty) \). Промежутки убывания: \( (-\infty; 3] \).