7. Две машинистки должны были перепечатать некоторую рукопись. Сначала 5 дней работала только первая машинистка, а затем к ней присоединилась вторая, и они закончили перепечатку через 3 дня совместной работы. Известно, что первой машинистке на перепечатку рукописи потребовалось бы на 5 дней меньше, чем второй. За какое время могла бы перепечатать эту рукопись каждая машинистка, работая отдельно?

Решение:

Пусть \( x \) — объем всей рукописи (в страницах или листах).

Пусть \( v_1 \) — производительность первой машинистки (страниц в день), а \( v_2 \) — производительность второй машинистки (страниц в день).

Время, которое потребовалось бы первой машинистке для перепечатки всей рукописи, обозначим \( t_1 \) (в днях), а второй — \( t_2 \) (в днях).

Тогда \( v_1 = \frac{x}{t_1} \) и \( v_2 = \frac{x}{t_2} \).

По условию, первой машинистке потребовалось бы на 5 дней меньше, чем второй: \( t_1 = t_2 - 5 \).

За первые 5 дней первая машинистка перепечатала \( 5v_1 \) объема рукописи.

Оставшийся объем: \( x - 5v_1 \).

Этот оставшийся объем они перепечатали совместно за 3 дня. Совместная производительность равна \( v_1 + v_2 \).

Следовательно, \( (v_1 + v_2) × 3 = x - 5v_1 \).

Подставим \( v_1 = \frac{x}{t_1} \) и \( v_2 = \frac{x}{t_2} \):

\( (\frac{x}{t_1} + \frac{x}{t_2}) \cdot 3 = x - 5\frac{x}{t_1} \).

Разделим все на \( x \) (так как \( x > 0 \)):

\( (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 3 = 1 - \frac{5}{t_1} \).

\( \frac{3}{t_1} + \frac{3}{t_2} = 1 - \frac{5}{t_1} \).

Перенесём члены с \( t_1 \) в одну сторону:

\( \frac{3}{t_1} + \frac{5}{t_1} + \frac{3}{t_2} = 1 \).

\( \frac{8}{t_1} + \frac{3}{t_2} = 1 \).

Теперь используем условие \( t_1 = t_2 - 5 \). Подставим его в уравнение:

\( \frac{8}{t_2 - 5} + \frac{3}{t_2} = 1 \).

Приведём к общему знаменателю \( t_2(t_2-5) \):

\( \frac{8t_2 + 3(t_2 - 5)}{t_2(t_2 - 5)} = 1 \).

\( 8t_2 + 3t_2 - 15 = t_2(t_2 - 5) \).

\( 11t_2 - 15 = t_2^2 - 5t_2 \).

Перенесём все члены в одну сторону:

\( t_2^2 - 5t_2 - 11t_2 + 15 = 0 \).

\( t_2^2 - 16t_2 + 15 = 0 \).

Решим квадратное уравнение относительно \( t_2 \) с помощью дискриминанта:

\( D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \).

\( t_2 = \frac{-(-16) \pm 14}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm 14}{2} \).

Возможные значения для \( t_2 \):

\( t_{2,1} = \frac{16 + 14}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).

\( t_{2,2} = \frac{16 - 14}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

Теперь найдем соответствующие значения \( t_1 \) по формуле \( t_1 = t_2 - 5 \):

Если \( t_2 = 15 \), то \( t_1 = 15 - 5 = 10 \).

Если \( t_2 = 1 \), то \( t_1 = 1 - 5 = -4 \). Время не может быть отрицательным, поэтому этот корень не подходит.

Таким образом, первой машинистке потребовалось бы 10 дней, а второй — 15 дней.

Проверим условие:

За 5 дней первая машинистка сделала \( 5 \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{2} \) рукописи.

Осталось \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) рукописи.

Совместно за 3 дня они сделали: \( 3 \cdot (\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) = 3 \cdot (\frac{3+2}{30}) = 3 \cdot \frac{5}{30} = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \) рукописи.

Условие выполняется.

Ответ: Первая машинистка — за 10 дней, вторая машинистка — за 15 дней.