6. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 12/13. Найдите синус угла при вершине.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \). Угол при вершине \( \angle ABC = \beta \).

По условию, синус угла при основании равен \( \frac{12}{13} \), то есть \( \sin \alpha = \frac{12}{13} \).

В треугольнике \( ABC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \): \( 2\alpha + \beta = 180^{\circ} \).

Отсюда \( \beta = 180^{\circ} - 2\alpha \).

Нам нужно найти \( \sin \beta \).

\( \sin \beta = \sin(180^{\circ} - 2\alpha) \).

По формуле приведения \( \sin(180^{\circ} - x) = \sin x \), следовательно,

\( \sin \beta = \sin(2\alpha) \).

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

Нам известно \( \sin \alpha = \frac{12}{13} \). Найдем \( \cos \alpha \). Так как \( \alpha \) — угол треугольника, то \( 0 < \alpha < 180^{\circ} \). Для угла при основании равнобедренного треугольника \( 0 < \alpha < 90^{\circ} \), поэтому \( \cos \alpha > 0 \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\( (\frac{12}{13})^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \frac{144}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \).

\( \cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \).

Теперь найдем \( \sin \beta \):

\( \sin \beta = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{5}{13} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 5}{13 \cdot 13} = \frac{120}{169} \).

Ответ: \( \frac{120}{169} \).