№ 4. Постройте график функции y = { x² − 10x + 25, если x ≥ 4; x − 2, если x < 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

При \(x\ge4\): \(y=x^2-10x+25=(x-5)^2\). При \(x<4\): \(y=x-2\). В точке \(x=4\) график включает точку \((4;1)\) параболы; точка \((4;2)\) линейной ветви не включена.

Для \(m=0\) горизонтальная прямая пересекает линейную ветвь при \(x=2\), а параболу при \(x=5\): всего две точки.

Если \(1<m<2\), линейная ветвь даёт одну точку \(x=m+2<4\). На параболе уравнение \((x-5)^2=m\) имеет два корня, но корень \(x=5-\sqrt m<4\) не принадлежит её ветви, поэтому остаётся одна точка. Всего пересечений две.

При \(0<m\le1\) есть одно пересечение с линейной ветвью и два с параболой; при \(m<0\) — одно пересечение, а при \(m\ge2\) — не более одного. Эти случаи условию не подходят.

Ответ: \(m=0\) или \(1<m<2\).