№4. Постройте график функции y = x² − 4x и найдите: 1) значение x при y = 5; 2) промежутки монотонности; 3) нули функции; 4) наименьшее/наибольшее значение функции.

Представим функцию в виде, позволяющем сразу определить вершину:

\(y=x^2-4x=(x-2)^2-4\). Вершина параболы — \((2;-4)\), ветви направлены вверх.

1) Значение \(x\) при \(y=5\).

\(x^2-4x=5\), поэтому \(x^2-4x-5=0\).

\((x-5)(x+1)=0\), следовательно, \(x=5\) или \(x=-1\).

2) Промежутки монотонности.

До вершины, при \(x\in(-\infty;2]\), функция убывает; после вершины, при \(x\in[2;+)\), возрастает.

3) Нули функции.

\(x^2-4x=x(x-4)=0\), поэтому нули функции: \(x=0\) и \(x=4\).

4) Наименьшее и наибольшее значения.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение достигается в вершине и равно \(-4\). Наибольшего значения на всей области определения нет.

На графике дополнительно показаны вершина, нули функции и прямая \(y=5\); её пересечения с параболой соответствуют найденным значениям \(x=-1\) и \(x=5\).