4. Постройте на координатной плоскости: а) точки А, В, С, D, если А (0; 4), В (6; -2), C (7;3); D (-3; -2); б) Определите координату точки пересечения прямых АВ и CD.

Решение:

а) Построение точек на координатной плоскости:

Для построения точек на координатной плоскости, отмечаем на оси абсцисс (x) первое число, а на оси ординат (y) — второе число. Соединяем их перпендикулярами.

• Точка A имеет координаты (0; 4). Она лежит на оси ординат.
• Точка B имеет координаты (6; -2).
• Точка C имеет координаты (7; 3).
• Точка D имеет координаты (-3; -2).

б) Нахождение точки пересечения прямых AB и CD:

Сначала найдём уравнения прямых, проходящих через точки A и B, и через точки C и D.

Уравнение прямой AB:

Формула уравнения прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \)

Для точек A(0; 4) и B(6; -2):

\[ \frac{x - 0}{6 - 0} = \frac{y - 4}{-2 - 4} \]

\[ \frac{x}{6} = \frac{y - 4}{-6} \]

\[ -6x = 6(y - 4) \]

\[ -x = y - 4 \]

\[ y = -x + 4 \]

Уравнение прямой CD:

Для точек C(7; 3) и D(-3; -2):

\[ \frac{x - 7}{-3 - 7} = \frac{y - 3}{-2 - 3} \]

\[ \frac{x - 7}{-10} = \frac{y - 3}{-5} \]

\[ -5(x - 7) = -10(y - 3) \]

\[ -5x + 35 = -10y + 30 \]

\[ 10y = 5x + 30 - 35 \]

\[ 10y = 5x - 5 \]

\[ y = \frac{5x - 5}{10} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \]

Найдём точку пересечения, приравняв уравнения прямых:

\[ -x + 4 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \]

Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ -2x + 8 = x - 1 \]

\[ 8 + 1 = x + 2x \]

\[ 9 = 3x \]

\[ x = 3 \]

Теперь подставим \( x = 3 \) в любое из уравнений, например, в \( y = -x + 4 \):

\[ y = -3 + 4 = 1 \]

Точка пересечения имеет координаты (3; 1).

Ответ: а) Точки построены на координатной плоскости; б) Координаты точки пересечения прямых AB и CD: (3; 1).