№4. Постройте на выбор график функции и ответьте на поставленный вопрос. 1) Постройте график функции y = {x² − 6x + 10, если x ≥ 1; x + 2, если x < 1}. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. 2) Постройте график функции y = |x|(x − 1) − 3x и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1) При x ≥ 1 имеем y = (x − 3)² + 1: вершина параболической части — (3; 1), а при x = 1 значение функции равно 5. При x < 1 график — прямая y = x + 2, заканчивающаяся перед точкой (1; 3), которая в эту часть не входит.

Если m < 3, прямая y = m пересекает линейную часть один раз; параболическая часть даёт дополнительно одну точку при m = 1 и две точки при 1 < m < 3. При m = 3 линейная часть точки не даёт, а парабола пересекается в двух точках. При 3 < m ≤ 5 парабола также даёт две точки; при m > 5 — одну.

Для пункта 1: m = 1 или m ∈ [3; +∞).

2) Раскроем модуль по случаям: при x ≥ 0 функция равна x² − 4x = (x − 2)² − 4; при x < 0 она равна −x² − 2x = 1 − (x + 1)².

Для части x ≥ 0 горизонталь y = m имеет две точки при −4 < m ≤ 0, одну при m = −4 или m > 0 и ни одной при m < −4. Для части x < 0 она имеет две точки при 0 < m < 1, одну при m ≤ 0 или m = 1 и ни одной при m > 1. При x = 0 учитывается точка графика (0; 0), относящаяся к первой части.

Подсчёт общих точек с учётом обеих частей даёт ровно две точки при m = −4 и m = 1.

Для пункта 2: m ∈ {−4; 1}.

Для построения пункта 1 отметьте вершину параболы (3; 1), точки линейной части (0; 2) и граничное значение параболы (1; 5). Для пункта 2 отметьте вершины частей (2; −4) и (−1; 1), а также точку соединения (0; 0); обе параболические части направлены вниз/вверх соответственно: первая вверх, вторая вниз.