4. При каких значениях a имеет смысл выражение 15a/(3 + 21/(4a − 6))?

Сначала знаменатель внутренней дроби должен быть ненулевым:

\(4a-6\ne0\), откуда \(a\ne\dfrac32\).

Также должен быть ненулевым весь знаменатель исходного выражения. При допустимом \(a\):

\[3+\frac{21}{4a-6}=\frac{3(4a-6)+21}{4a-6}=\frac{12a+3}{4a-6}.\]

Он обращается в ноль при \(12a+3=0\), то есть при \(a=-\dfrac14\); это значение также исключаем.

Ответ: \(a\in\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac14,\dfrac32\right\}\).