4. При каких значениях х имеет смысл выражение: a) $$\sqrt{5x-2}$$; 6) $$\sqrt{3x+1} + \sqrt{6-x}$$?

Решение:

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно (то есть больше или равно нулю), потому что квадратный корень из отрицательного числа не существует в действительных числах.

а) $$\sqrt{5x-2}$$

Чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ 5x - 2 \ge 0 \]

Перенесем -2 в правую часть:

\[ 5x \ge 2 \]

Разделим обе части на 5:

\[ x \ge \frac{2}{5} \]

Ответ: $$x \ge \frac{2}{5}$$

б) $$\sqrt{3x+1} + \sqrt{6-x}$$

Здесь у нас два корня, поэтому оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными одновременно.

Первый корень: $$\sqrt{3x+1}$$

\[ 3x + 1 \ge 0 \]

\[ 3x \ge -1 \]

\[ x \ge -\frac{1}{3} \]

Второй корень: $$\sqrt{6-x}$$

\[ 6 - x \ge 0 \]

\[ 6 \ge x \]

Теперь нам нужно найти пересечение этих двух условий: $$x \ge -\frac{1}{3}$$ и $$x \le 6$$.

Это означает, что $$x$$ должен быть больше или равен $$-1/3$$ и одновременно меньше или равен 6.

Ответ: $$- \frac{1}{3} \le x \le 6$$