4. При каких значениях х имеет смысл выражение: a) \( \sqrt{(6 - x)(3x + 4,5)} \); б) 2 / \( \sqrt{x^2 - 6x + 9} \)?

Решение:

а) \( \sqrt{(6 - x)(3x + 4,5)} \)

1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \( (6 - x)(3x + 4,5) \ge 0 \).
2. Найдем корни: \( 6 - x = 0 \Rightarrow x = 6 \) и \( 3x + 4,5 = 0 \Rightarrow 3x = -4,5 \Rightarrow x = -1,5 \).
3. Отметим корни на числовой прямой. Парабола \( y = (6 - x)(3x + 4,5) \) имеет ветви, направленные вниз.
4. Неравенство \( \ge 0 \) выполняется при \( x \) из интервала \( [-1,5; 6] \).

б) \( \frac{2}{\sqrt{x^2 - 6x + 9}} \)

1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \( x^2 - 6x + 9 \ge 0 \).
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \( \sqrt{x^2 - 6x + 9} \ne 0 \), следовательно \( x^2 - 6x + 9 \ne 0 \).
3. Рассмотрим квадратное трехчлен: \( x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \).
4. \( (x - 3)^2 \ge 0 \) верно для любого \( x \).
5. \( (x - 3)^2 \ne 0 \) верно при \( x \ne 3 \).
6. Таким образом, выражение имеет смысл при всех \( x \), кроме \( x = 3 \).

Ответ: а) \( x \in [-1,5; 6] \); б) \( x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).