4) При каких значениях параметра \(a\) уравнения \((x-1)(a+2)=0\) и \(a^2+x=1-2a\) равносильны?

Первое уравнение при \(a\ne-2\) имеет единственное решение \(x=1\). При \(a=-2\) оно превращается в тождество и имеет любые действительные решения.

Во втором уравнении \(x=1-2a-a^2\), то есть решение всегда единственное.

Чтобы уравнения были равносильны, их единственные решения должны совпадать, а случай \(a=-2\) не подходит. Приравняем корни: \(1=1-2a-a^2\). Тогда \(a^2+2a=0\), откуда \(a=0\) или \(a=-2\). Исключаем \(a=-2\), поскольку тогда первое уравнение имеет бесконечно много решений.

Ответ: \(a=0\).