4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$\frac{\frac{x-8}{3x^2 - 10x + 3}}{?}$$.

Решение:

Выражение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю.

Рассмотрим знаменатель дроби: $$3x^2 - 10x + 3$$.

Найдем корни квадратного уравнения $$3x^2 - 10x + 3 = 0$$, чтобы определить значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю.

Дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$.

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$.

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$.

Выражение имеет смысл, если $$x \neq 3$$ и $$x \neq \frac{1}{3}$$.

Ответ: $$x \neq 3$$ и $$x \neq \frac{1}{3}$$.