8. Докажите, что при любом значении р уравнение $$x^2 + px + p - 4 = 0$$ имеет два корня.

Решение:

Квадратное уравнение имеет два корня, если его дискриминант больше нуля.

Для уравнения $$x^2 + px + p - 4 = 0$$ коэффициенты следующие:

$$a = 1$$

$$b = p$$

$$c = p - 4$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 4) = p^2 - 4p + 16$$.

Теперь нужно доказать, что $$p^2 - 4p + 16 > 0$$ для любого значения \(p\).

Рассмотрим квадратное трехчлен $$p^2 - 4p + 16$$. Найдем его дискриминант:

$$D_p = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48$$.

Так как дискриминант $$D_p < 0$$, а коэффициент при $$p^2$$ (равный 1) положительный, то парабола \(y = p^2 - 4p + 16\) всегда находится выше оси \(p\).

Следовательно, $$p^2 - 4p + 16 > 0$$ для любого значения \(p\).

Так как дискриминант исходного уравнения \(D = p^2 - 4p + 16\) всегда положителен, то уравнение $$x^2 + px + p - 4 = 0$$ имеет два корня при любом значении \(p\).

Ответ: Дискриминант уравнения $$D = p^2 - 4p + 16$$. Так как дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, а старший коэффициент положителен, то $$D > 0$$ при любом значении $$p$$. Следовательно, уравнение имеет два корня.