4. Придумать кусочную функцию, область определения которой от -10 до 8 и найти область значений этой функции (для этого можно построить график своей функции, или вычислить аналитически)

Решение:

Придумаем кусочную функцию, удовлетворяющую условию. Возьмём две линейные функции, чтобы охватить заданный интервал \( [-10, 8] \).

Наша функция:

$$\qquad y = \begin{cases} -2x + 1, & \text{при } -10 \le x < 0 \\ x + 1, & \text{при } 0 \le x \le 8 \end{cases}$$

Построение графика:

1. Первая часть: \( y = -2x + 1 \) при \( -10 \le x < 0 \).
   Это отрезок. Начальная точка: при \( x = -10 \), \( y = -2 \cdot (-10) + 1 = 20 + 1 = 21 \). Точка \( (-10, 21) \) — «закрашенная». Конечная точка: при \( x = 0 \), \( y = -2 \cdot 0 + 1 = 1 \). Точка \( (0, 1) \) — «пустая».
2. Вторая часть: \( y = x + 1 \) при \( 0 \le x \le 8 \).
   Это отрезок. Начальная точка: при \( x = 0 \), \( y = 0 + 1 = 1 \). Точка \( (0, 1) \) — «закрашенная». Конечная точка: при \( x = 8 \), \( y = 8 + 1 = 9 \). Точка \( (8, 9) \) — «закрашенная».

Анализ графика для определения области значений:

По графику видно, что:

• На первом отрезке (от \( x = -10 \) до \( x = 0 \)) значения \( y \) меняются от 21 (включая) до 1 (не включая). Диапазон: \( (1, 21] \).
• На втором отрезке (от \( x = 0 \) до \( x = 8 \)) значения \( y \) меняются от 1 (включая) до 9 (включая). Диапазон: \( [1, 9] \).

Объединяя эти диапазоны, мы получаем область значений функции. Так как точка \( (0, 1) \) является началом второго отрезка и концом (не включая) первого, значение \( y = 1 \) входит в область значений.

Объединение \( (1, 21] \) и \( [1, 9] \) дает \( [1, 21] \).

Ответ: Область определения функции: \( [-10, 8] \). Придуманная функция: \( y = \begin{cases} -2x + 1, & \text{при } -10 \le x < 0 \\ x + 1, & \text{при } 0 \le x \le 8 \end{cases} \). Область значений функции: \( [1, 21] \).