4. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое больше 300, а при делении на 6 и на 8 даёт равные остатки (ненулевые) и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других.

Решение:

Пусть число имеет вид \( rrr \), где \( r \) — первая цифра, \( x \) — вторая, \( y \) — третья. Первая цифра \( r \) должна быть больше или равна 3.

Число можно записать как \( 100r + 10x + y \).

Условие, что первая цифра — среднее арифметическое двух других: \( r = \frac{x+y}{2} \), или \( 2r = x+y \).

Условие, что при делении на 6 и 8 даёт равные ненулевые остатки. НОК(6, 8) = 24. Это значит, что число можно представить в виде \( 24k + \text{остаток} \), где остаток от 1 до 5 (так как остаток при делении на 6 не может быть больше 5, а остаток при делении на 8 не может быть больше 7. Равный остаток может быть только от 1 до 5).

Попробуем подобрать первую цифру \( r \) ≥ 3. Пусть \( r = 3 \). Тогда \( x+y = 6 \). Возможные пары \( (x, y) \) : (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0).

Числа: 306, 315, 324, 333, 342, 351, 360.

Проверим остатки при делении на 6 и 8:

• 306: 306 = 6*51 + 0; 306 = 8*38 + 2. Остатки разные.
• 315: 315 = 6*52 + 3; 315 = 8*39 + 3. Остатки равны 3. Это подходит.
• 324: 324 = 6*54 + 0; 324 = 8*40 + 4. Остатки разные.
• 333: 333 = 6*55 + 3; 333 = 8*41 + 5. Остатки разные.
• 342: 342 = 6*57 + 0; 342 = 8*42 + 6. Остатки разные.
• 351: 351 = 6*58 + 3; 351 = 8*43 + 7. Остатки разные.
• 360: 360 = 6*60 + 0; 360 = 8*45 + 0. Остатки равны 0, но нужны ненулевые.

Число 315 подходит.

Ответ: 315.