6. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое больше 500, а при делении на 4 и на 6 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других.

Решение:

Пусть число имеет вид \( rrr \), где \( r \) — первая цифра, \( x \) — вторая, \( y \) — третья. Первая цифра \( r \) должна быть больше или равна 5.

Число можно записать как \( 100r + 10x + y \).

Условие, что первая цифра — среднее арифметическое двух других: \( r = \frac{x+y}{2} \), или \( 2r = x+y \).

Условие, что при делении на 4 и 6 даёт равные ненулевые остатки. НОК(4, 6) = 12. Число можно представить в виде \( 12k + \text{остаток} \). Возможные ненулевые остатки при делении на 4: 1, 2, 3. Возможные ненулевые остатки при делении на 6: 1, 2, 3, 4, 5. Равный ненулевой остаток может быть 1, 2 или 3.

Пусть \( r = 5 \). Тогда \( x+y = 2r = 10 \). Возможные пары \( (x, y) \) : (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1).

Числа: 519, 528, 537, 546, 555, 564, 573, 582, 591.

Проверим остатки при делении на 4 и 6:

• 519: 519 = 4*129 + 3; 519 = 6*86 + 3. Остатки равны 3. Подходит.
• 528: 528 = 4*132 + 0; 528 = 6*88 + 0. Остатки равны 0. Не подходит (ненулевые).
• 537: 537 = 4*134 + 1; 537 = 6*89 + 3. Остатки разные.
• 546: 546 = 4*136 + 2; 546 = 6*91 + 0. Остатки разные.
• 555: 555 = 4*138 + 3; 555 = 6*92 + 3. Остатки равны 3. Подходит.
• 564: 564 = 4*141 + 0; 564 = 6*94 + 0. Остатки равны 0. Не подходит.
• 573: 573 = 4*143 + 1; 573 = 6*95 + 3. Остатки разные.
• 582: 582 = 4*145 + 2; 582 = 6*97 + 0. Остатки разные.
• 591: 591 = 4*147 + 3; 591 = 6*98 + 3. Остатки равны 3. Подходит.

Числа 519, 555, 591 подходят. Возьмем первое.

Ответ: 519.