4. Производная и ее применение. б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 2x³ + 3x² - 12x - 3 на отрезке [-1;3].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 12x - 3)' = 6x^2 + 6x - 12 \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( 6x^2 + 6x - 12 = 0 \). Разделим на 6: \( x^2 + x - 2 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение: \( (x+2)(x-1) = 0 \). Корни: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 1 \).
4. Проверим, входят ли критические точки в заданный отрезок [-1; 3]. Точка \( x = -2 \) не входит в отрезок. Точка \( x = 1 \) входит в отрезок.
5. Вычислим значения функции в критической точке, входящей в отрезок, и на концах отрезка:
• \( f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) - 3 = -2 + 3 + 12 - 3 = 10 \)
• \( f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) - 3 = 2 + 3 - 12 - 3 = -10 \)
• \( f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 12(3) - 3 = 2(27) + 3(9) - 36 - 3 = 54 + 27 - 36 - 3 = 42 \)
6. Сравним полученные значения: 10, -10, 42.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 42, наименьшее значение равно -10.