5. Интеграл и его применение. б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 3 - x², y = 0, x = -1, x = 1. Сделать рисунок.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \) и осью Ox на отрезке \( [a; b] \), вычисляется по формуле \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \).

В данном случае функция \( y = 3 - x^2 \) и ограничения \( x = -1 \) и \( x = 1 \). На отрезке \( [-1; 1] \) функция \( y = 3 - x^2 \) положительна (например, \( y(0) = 3 \)).

1. Определим границы интегрирования: \( a = -1 \) и \( b = 1 \).
2. Составим интеграл для вычисления площади: \( S = \int_{-1}^{1} (3 - x^2) dx \).
3. Найдем первообразную для \( 3 - x^2 \): \( F(x) = 3x - \frac{x^3}{3} \).
4. Вычислим определенный интеграл: \( S = F(1) - F(-1) = \left( 3(1) - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 3(-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) \)
5. \( S = \left( 3 - \frac{1}{3} \right) - \left( -3 - \frac{-1}{3} \right) = \left( 3 - \frac{1}{3} \right) - \left( -3 + \frac{1}{3} \right) \)
6. \( S = 3 - \frac{1}{3} + 3 - \frac{1}{3} = 6 - \frac{2}{3} = \frac{18}{3} - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} \).

Рисунок:

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{16}{3} \).