4. Производная и ее применение. в) Исследовать функцию y = x³ - 3x² + 4 и построить ее график.

Исследование функции \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \)

1. Область определения: Все действительные числа \( (-\infty; +\infty) \).
2. Четность/Нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Пересечение с осями:
• С осью Oy: при \( x = 0 \), \( y = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \). Точка пересечения: (0; 4).
• С осью Ox: при \( y = 0 \), \( x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \). Подбором находим корень \( x = -1 \) (так как \( (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0 \)). Разделим многочлен на \( (x+1) \) (или используя схему Горнера): \( (x+1)(x^2 - 4x + 4) = 0 \). Квадратный трехчлен \( x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \). Значит, \( (x+1)(x-2)^2 = 0 \). Корни: \( x = -1 \) и \( x = 2 \) (кратности 2). Точки пересечения: (-1; 0) и (2; 0).
4. Производная и экстремумы:
• \( y' = (x^3 - 3x^2 + 4)' = 3x^2 - 6x \).
• Критические точки: \( 3x^2 - 6x = 0 \rightarrow 3x(x-2) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
• Определим знаки производной на интервалах:
• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \) (функция возрастает).
• Вычислим значения функции в точках экстремума:
• \( y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \) (точка максимума: (0; 4)).
• \( y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \) (точка минимума: (2; 0)).
5. Асимптоты: Коэффициенты \( k \) и \( b \) для наклонных асимптот \( y = kx + b \) равны 0, так как функция полиномиальная. Вертикальных асимптот нет.

График функции:

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; 0) \) и \( (2; +\infty) \). Убывает на \( (0; 2) \). Точка максимума (0; 4). Точка минимума (2; 0). Пересекает ось Ox в точках (-1; 0) и (2; 0). Пересекает ось Oy в точке (0; 4).