4. Разность двух сторон треугольника равна 4 см, угол между ними равен 120°. Найти периметр треугольника, если третья сторона равна 14 см.

Пусть меньшая из двух сторон равна \(x\) см, тогда большая равна \(x+4\) см. Сторона 14 см лежит напротив угла 120°.

По теореме косинусов:

\(14^2=x^2+(x+4)^2-2x(x+4)\cos120^\circ\).

Поскольку \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем \(196=x^2+(x+4)^2+x(x+4)=3x^2+12x+16\).

Отсюда \(3x^2+12x-180=0\), или \(x^2+4x-60=0\). Корни: \(x=6\) и \(x=-10\); длина стороны положительна, поэтому берём \(x=6\). Другая сторона равна 10 см.

Периметр: \(6+10+14=30\) см.

Ответ: 30 см.