4. Решить квадратное неравенств a) (x+6)(x-8) > 0; б) х²-64 < 0; в) 3х2-10х-8 ≥ 0.

Решение:

а) (x + 6)(x - 8) > 0

1. Найдём корни уравнения (x + 6)(x - 8) = 0:

\( x_1 = -6 \), \( x_2 = 8 \)

2. Парабола y = (x + 6)(x - 8) ветвями вверх. Неравенство > 0 выполняется там, где парабола выше оси x.

Ответ: x < -6 или x > 8.

б) x² - 64 < 0

1. Найдём корни уравнения x² - 64 = 0:

\( x^2 = 64 \)

\( x_1 = -8 \), \( x_2 = 8 \)

2. Парабола y = x² - 64 ветвями вверх. Неравенство < 0 выполняется там, где парабола ниже оси x.

Ответ: -8 < x < 8.

в) 3x² - 10x - 8 ≥ 0

1. Найдём корни уравнения 3x² - 10x - 8 = 0.
2. Дискриминант:

\( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 \)

3. \( \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \)
4. Корни:

\( x_1 = \frac{10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \)

\( x_2 = \frac{10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 \)

5. Парабола y = 3x² - 10x - 8 ветвями вверх. Неравенство ≥ 0 выполняется там, где парабола выше оси x или на оси x.

Ответ: x ≤ -2/3 или x ≥ 4.