4. Решить неравенства методом интервалов: а) (x² + 2x − 3) / (x² − 2x + 8) > 0; б) (x − 1)/(x − 2) > (x − 2)/(x − 1); в) (x² − 3x + 2)/(x − 3) > 0; г) (x² − 2x − 3)/(x² + 2x + 8) < 0.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Разложим числитель: \(x^2+2x−3=(x+3)(x−1)\). Знаменатель \(x^2−2x+8\) всегда положителен, поскольку его дискриминант равен −28. Поэтому решаем \((x+3)(x−1)>0\). Ответ: \((−\infty;−3)\cup(1;+\infty)\).
б) Область допустимых значений: \(x\ne1,2\). Переносим в левую часть и приводим к общей дроби: \(\frac{(x−1)^2−(x−2)^2}{(x−2)(x−1)}>0\), то есть \(\frac{2x−3}{(x−2)(x−1)}>0\). Критические точки: 1, \(\frac32\), 2. Ответ: \((1;\frac32)\cup(2;+\infty)\).
в) Разложим числитель: \(x^2−3x+2=(x−1)(x−2)\). Критические точки: 1 и 2 — нули числителя; 3 исключается из области определения. Знак положителен на интервалах \((1;2)\) и \((3;+\infty)\). Ответ: \((1;2)\cup(3;+\infty)\).
г) Разложим числитель: \(x^2−2x−3=(x−3)(x+1)\). Знаменатель \(x^2+2x+8\) всегда положителен, поскольку его дискриминант равен −28. Числитель отрицателен между корнями −1 и 3. Ответ: \((−1;3)\).

Ответ: