4. Решить неравенства: \(\sqrt{x+3}>x+2\); \(\sqrt{x-4}>x+8\).

1. ОДЗ: \(x\ge-3\). При \(-3\le x<-2\) неравенство верно, поскольку правая часть отрицательна, а корень неотрицателен. При \(x\ge-2\) обе части неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат: \(x+3>(x+2)^2\), то есть \(x^2+3x+1<0\). Корни соответствующего квадратного трёхчлена: \(\frac{-3\pm\sqrt5}{2}\). С учётом \(x\ge-2\) получаем \([-2,\frac{-3+\sqrt5}{2})\). Объединяя части, имеем \([-3,\frac{-3+\sqrt5}{2})\).

2. ОДЗ: \(x\ge4\), поэтому обе части неравенства неотрицательны. Возводим в квадрат: \(x-4>(x+8)^2\), или \(x^2+15x+68<0\). Дискриминант равен \(15^2-4\cdot68=-47<0\), а коэффициент при \(x^2\) положителен. Следовательно, выражение всегда положительно и решений нет.

Ответ: 1) \(x\in[-3,\frac{-3+\sqrt5}{2})\); 2) решений нет.