4. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение:

Требуется решить уравнение \( 2 \sin x \cdot \cos x = \cos x \).

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ 2 \sin x \cdot \cos x - \cos x = 0 \]

Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\[ \cos x (2 \sin x - 1) = 0 \]

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( \cos x = 0 \)


2. \( 2 \sin x - 1 = 0 \)

Решаем первое уравнение:

\[ \cos x = 0 \]\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Решаем второе уравнение:

\[ 2 \sin x = 1 \]\[ \sin x = \frac{1}{2} \]\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad n, m \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( k, n, m \) — целые числа.