9. Найти экстремумы функции:

Решение:

Чтобы найти экстремумы функции \( y = 2x^2 - 20x + 1 \), нужно найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем проверить знак производной в интервалах.

Найдем производную функции:

\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 20x + 1) \]\[ y' = 4x - 20 \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 4x - 20 = 0 \]\[ 4x = 20 \]\[ x = 5 \]

Теперь проверим знак производной слева и справа от \( x = 5 \).

• При \( x < 5 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 4 \cdot 0 - 20 = -20 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( y' = 4 \cdot 6 - 20 = 24 - 20 = 4 > 0 \). Функция возрастает.

Так как производная меняет знак с минуса на плюс в точке \( x = 5 \), то в этой точке находится минимум функции.

Найдем значение функции в этой точке:

\[ y(5) = 2(5)^2 - 20(5) + 1 \]\[ y(5) = 2(25) - 100 + 1 \]\[ y(5) = 50 - 100 + 1 \]\[ y(5) = -49 \]

Ответ: Функция имеет минимум в точке \( x = 5 \), значение минимума равно \( -49 \).