8. Найти производную функции:

Решение:

Требуется найти производную функции \( y = 2 \cdot (x - 5)^7 \).

Используем правило дифференцирования сложной функции (производная внешней функции, умноженная на производную внутренней функции).

Внешняя функция — \( u^7 \), где \( u = x - 5 \). Производная внешней функции равна \( 7u^6 \).

Внутренняя функция — \( x - 5 \). Её производная равна \( 1 \).

Производная \( y' \) находится по формуле:

\[ y' = 2 \cdot \frac{d}{dx} (x - 5)^7 \]\[ y' = 2 \cdot 7 (x - 5)^{7-1} \cdot \frac{d}{dx} (x - 5) \]\[ y' = 14 (x - 5)^6 \cdot 1 \]\[ y' = 14 (x - 5)^6 \]

Ответ: \( y' = 14(x - 5)^6 \).