4. Решить тригонометрическое уравнение: 4.1) 2 sin² x − 5 sin x + 2 = 0; 4.2) cos² x + 3 cos x + 2 = 0; 4.3) 2 sin² x − 3 sin x + 1 = 0; 4.4) tg² x − 3 tg x + 2 = 0; 4.5) 2 cos² x − 3 cos x − 2 = 0; 4.16) 4 sin² x − 4 sin x − 3 = 0; 4.17) 2 cos² x + cos x − 1 = 0; 4.18) 2 sin² x + √2 sin x = 0; 4.19) 2 sin² x + 3 sin x + 2 = 0; 4.20) 3 tg² x − tg x − 2 = 0.

Положим n ∈ ℤ. В уравнениях с синусом, косинусом или тангенсом сначала решаем соответствующее квадратное уравнение относительно этой функции, затем отбираем допустимые значения из промежутка от −1 до 1 для синуса и косинуса.

1. Для s = sin x: 2s² − 5s + 2 = 0, корни 2 и 1/2. Допустимо s = 1/2, поэтому x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn.
2. Для c = cos x: c² + 3c + 2 = 0, корни −1 и −2. Допустимо c = −1, поэтому x = π + 2πn.
3. Для s = sin x: 2s² − 3s + 1 = 0, корни 1 и 1/2. Поэтому x = π/2 + 2πn; либо x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn.
4. Для t = tg x: t² − 3t + 2 = 0, откуда t = 1 или 2. Поэтому x = π/4 + πn или x = arctg 2 + πn.
5. Для c = cos x: 2c² − 3c − 2 = 0, корни 2 и −1/2. Допустимо c = −1/2, поэтому x = 2π/3 + 2πn или x = 4π/3 + 2πn.
6. Для s = sin x: 4s² − 4s − 3 = 0, корни 3/2 и −1/2. Допустимо s = −1/2, поэтому x = 7π/6 + 2πn или x = 11π/6 + 2πn.
7. Для c = cos x: 2c² + c − 1 = 0, корни 1/2 и −1. Поэтому x = ±π/3 + 2πn или x = π + 2πn.
8. 2 sin² x + √2 sin x = 0, то есть sin x(2 sin x + √2) = 0. Отсюда x = πn либо x = 5π/4 + 2πn или x = 7π/4 + 2πn.
9. Дискриминант квадратного уравнения 2s² + 3s + 2 = 0 равен 9 − 16 = −7 < 0, поэтому действительных решений нет.
10. Для t = tg x: 3t² − t − 2 = 0, корни 1 и −2/3. Поэтому x = π/4 + πn или x = arctg(−2/3) + πn.