4. Решить уравнение: а) 4ˣ − 12 · 2ˣ + 32 = 0; б) 6sin²x − sin x = 1; в) log₂(x − 2) + log₂ x = 3.

а) Положим t = 2ˣ, где t > 0. Тогда 4ˣ = t², и уравнение принимает вид t² − 12t + 32 = 0. Разложим на множители: (t − 4)(t − 8) = 0. Значит, t = 4 или t = 8. Возвращаясь к замене, получаем 2ˣ = 4 или 2ˣ = 8, откуда x = 2 или x = 3.

б) Обозначим sin x = t. Получаем 6t² − t − 1 = 0, откуда (3t + 1)(2t − 1) = 0. Следовательно, sin x = −1/3 или sin x = 1/2. Решения:

sin x = 1/2: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk;

sin x = −1/3: x = −arcsin(1/3) + 2πk или x = π + arcsin(1/3) + 2πk, где k ∈ ℤ.

в) Область допустимых значений: x > 2. Объединим логарифмы: log₂(x(x − 2)) = 3, поэтому x(x − 2) = 2³ = 8. Получаем x² − 2x − 8 = 0, то есть (x − 4)(x + 2) = 0. Корни: x = 4 и x = −2. Условию x > 2 удовлетворяет только x = 4.

Ответ: а) x = 2, 3; б) x = π/6 + 2πk, 5π/6 + 2πk, −arcsin(1/3) + 2πk или π + arcsin(1/3) + 2πk, k ∈ ℤ; в) x = 4.