5. Решить неравенство: log₁⁄₆(10 − x) + log₁⁄₆(x − 3) ≥ −1.

1. Область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительны: 10 − x > 0 и x − 3 > 0. Значит, 3 < x < 10.

2. Объединим логарифмы. log₁⁄₆((10 − x)(x − 3)) ≥ −1.

3. Применим монотонность. Основание 1/6 меньше 1, поэтому логарифмическая функция убывает. Неравенство равносильно (10 − x)(x − 3) ≤ (1/6)⁻¹ = 6.

4. Решим квадратное неравенство. Раскрывая скобки и перенося всё влево, получаем x² − 13x + 36 ≥ 0. Корни: x = 4 и x = 9. Поэтому x ≤ 4 или x ≥ 9.

5. Учтём ОДЗ. Пересечение с интервалом 3 < x < 10 даёт (3; 4] ∪ [9; 10).

Ответ: x ∈ (3; 4] ∪ [9; 10).