4. Решите биквадратные уравнения: а) x⁴ − 10x² + 9 = 0; б) x⁴ + 6x² − 27 = 0; в) x⁴ − 18x² + 32 = 0; г) x⁴ + 15x² + 54 = 0; д) x⁴ − x² − 12 = 0; е) x⁴ + 25x² = 0.

В каждом уравнении положим \(t=x^2\), где \(t\geq0\).

а) \(t^2-10t+9=(t-1)(t-9)=0\). Значит, \(x^2=1\) или \(x^2=9\), откуда \(x=\pm1,\pm3\).

б) \(t^2+6t-27=(t-3)(t+9)=0\). Допустимо только \(t=3\), поэтому \(x=\pm\sqrt3\).

в) \(t^2-18t+32=(t-16)(t-2)=0\). Отсюда \(x=\pm4,\pm\sqrt2\).

г) \(t^2+15t+54=(t+6)(t+9)=0\). Оба значения \(t=-6,-9\) противоречат условию \(t\geq0\), поэтому действительных корней нет.

д) \(t^2-t-12=(t-4)(t+3)=0\). Допустимо \(t=4\), поэтому \(x=\pm2\).

е) \(x^4+25x^2=x^2(x^2+25)=0\). Второй множитель положителен при любых действительных \(x\), значит, \(x=0\).

Ответ: а) \(x=\pm1,\pm3\); б) \(x=\pm\sqrt3\); в) \(x=\pm2,\pm4\); г) действительных корней нет; д) \(x=\pm2\); е) \(x=0\).