4. Решите дробное рациональное уравнение: а) \(\frac{5}{x-1}+\frac{30}{x+1}=5\); б) \(\frac{x}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=\frac{8}{x^2-4}\).

а) Область допустимых значений: \(x\ne1\), \(x\ne-1\).

Умножим уравнение на \((x-1)(x+1)\):

\(5(x+1)+30(x-1)=5(x^2-1)\).

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

\(5x+5+30x-30=5x^2-5\),

\(5x^2-35x+20=0\), откуда \(x^2-7x+4=0\).

По формуле корней квадратного уравнения:

\(x=\frac{7\pm\sqrt{49-16}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\).

Оба значения допустимы.

б) ОДЗ: \(x\ne-2\), \(x\ne2\). Умножим уравнение на \(x^2-4=(x-2)(x+2)\):

\(x(x-2)+(x+2)^2=8\).

Раскроем скобки:

\(x^2-2x+x^2+4x+4=8\),

\(2x^2+2x-4=0\), то есть \(x^2+x-2=0\).

Разложим на множители: \((x+2)(x-1)=0\). Кандидаты: \(x=-2\) и \(x=1\). Значение \(-2\) не входит в ОДЗ, поэтому остаётся \(x=1\).

Ответ: а) \(x=\frac{7-\sqrt{33}}{2}\) или \(x=\frac{7+\sqrt{33}}{2}\); б) \(x=1\).