4. Решите графически уравнение \(\frac{3}{x} = x + 2\)

Решение:

1. Разделим уравнение на две функции: \(y_1 = \frac{3}{x}\) и \(y_2 = x + 2\).
2. Построим графики этих функций. График \(y_1 = \frac{3}{x}\) — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. График \(y_2 = x + 2\) — это прямая линия, проходящая через точку (0; 2) и имеющая угловой коэффициент 1.
3. Найдем точки пересечения графиков.

График:

Анализ графика:

Графики пересекаются в двух точках. Одна точка находится в III координатной четверти, другая — в I.

3. Найдем точки пересечения аналитически (для проверки):
4. Приравняем правые части уравнений: \(\frac{3}{x} = x + 2\)
5. Умножим обе части на \(x\) (при условии, что \(x \neq 0\)): \(3 = x^2 + 2x\)
6. Перенесем все в одну часть: \(x^2 + 2x - 3 = 0\)
7. Решим квадратное уравнение (например, по теореме Виета): \(x_1 = 1\), \(x_2 = -3\).
8. Найдем соответствующие значения \(y\):
• При \(x_1 = 1\): \(y_1 = 1 + 2 = 3\). Точка (1; 3).
• При \(x_2 = -3\): \(y_2 = -3 + 2 = -1\). Точка (-3; -1).

Ответ: Уравнение имеет два корня: \(x = 1\) и \(x = -3\).