4. Решите систему уравнений: {3xy = 1; 6x + y = 3}.

У нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{cases} 3xy = 1 \\ 6x + y = 3 \end{cases} \]

Самый простой способ решить эту систему — выразить одну переменную через другую из второго уравнения и подставить ее в первое.

Из второго уравнения выразим y:

\[ y = 3 - 6x \]

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение:

\[ 3x(3 - 6x) = 1 \]

Раскроем скобки:

\[ 9x - 18x^2 = 1 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 18x^2 - 9x + 1 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D = b^2 - 4ac):

a = 18, b = -9, c = 1

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 1 \]

\[ D = 81 - 72 \]

\[ D = 9 \]

Теперь найдем корни уравнения x1 и x2:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 18} = \frac{9 + 3}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \]

\[ x_2 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 18} = \frac{9 - 3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

Теперь найдем соответствующие значения y, используя выражение y = 3 - 6x:

Для x1 = 1/3:

\[ y_1 = 3 - 6 \cdot \frac{1}{3} = 3 - 2 = 1 \]

Для x2 = 1/6:

\[ y_2 = 3 - 6 \cdot \frac{1}{6} = 3 - 1 = 2 \]

Таким образом, у нас есть два решения:

1) x = 1/3, y = 1

2) x = 1/6, y = 2

Ответ: (1/3; 1), (1/6; 2)