4. Решите систему уравнений \(\begin{cases}\frac{3^x}{9^y}=81,\\ \log_{0{,}5}(x-y)=0.\end{cases}\)

Так как \(9^y=3^{2y}\) и \(81=3^4\), первое уравнение принимает вид \(3^{x-2y}=3^4\). Следовательно, \(x-2y=4\).

Из второго уравнения по определению логарифма \(x-y=(0{,}5)^0=1\). В частности, аргумент логарифма положителен.

Решим систему \(\begin{cases}x-2y=4,\\x-y=1.\end{cases}\). Вычитая первое уравнение из второго, получаем \(y=-3\), затем \(x=1+y=-2\).

Проверка: \(\frac{3^{-2}}{9^{-3}}=81\), а \(\log_{0{,}5}((-2)-(-3))=\log_{0{,}5}1=0\).

Ответ: \((x,y)=(-2,-3)\).