4. Решите систему уравнений (см. пример): 1) \(\begin{cases}\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=5,\\\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=7;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{3}{x}+\frac{5}{y}=11,\\\frac{8}{x}-\frac{7}{y}=9;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1,\\\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}=8.\end{cases}\)

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Положим \(u=\frac1x\), \(v=\frac1y\); при этом \(x,y\ne0\).
1) Получаем \(2u-v=5\), \(2u+v=7\). Складываем: \(4u=12\), значит, \(u=3\), а затем \(v=1\). Поэтому \(x=\frac13\), \(y=1\).
2) Имеем \(3u+5v=11\), \(8u-7v=9\). Умножим первое равенство на 8, второе на 3: \(24u+40v=88\), \(24u-21v=27\). Вычитание даёт \(61v=61\), откуда \(v=1\), затем \(u=2\). Следовательно, \(x=\frac12\), \(y=1\).
3) Подстановка даёт \(u+v=1\), \(\frac{u}{2}+2v=8\). Умножим второе равенство на 2: \(u+4v=16\). Вычитая первое, получаем \(3v=15\), то есть \(v=5\), а \(u=-4\). Значит, \(x=-\frac14\), \(y=\frac15\).

Ответ: 1) \((x;y)=(\frac13;1)\); 2) \((\frac12;1)\); 3) \((-\frac14;\frac15)\).