4) Решите системы уравнений: а) { x² + 3xy + 9y² = 12; x² + 3xy + 2y² = 0 }; б) { x² + 3xy = 7; y² + xy = 6 }.

а) Вычитаем второе уравнение из первого: 7y² = 12, поэтому y = ±√(12/7). Из второго уравнения x² + 3xy + 2y² = 0 = (x + y)(x + 2y), значит x = −y или x = −2y.

Получаем четыре решения: (−√(12/7), √(12/7)), (−2√(12/7), √(12/7)), (√(12/7), −√(12/7)), (2√(12/7), −√(12/7)).

б) Из второго уравнения y(y + x) = 6, поэтому y ≠ 0. Обозначим t = x/y. Тогда y²(t + 1) = 6 и y²(t² + 3t) = 7. Делим второе равенство на первое: 6(t² + 3t) = 7(t + 1), откуда 6t² + 11t − 7 = 0. Его корни: t = 1/2 и t = −7/3.

При t = 1/2: y² = 6/(3/2) = 4, значит (x, y) = (1, 2) или (−1, −2).

При t = −7/3: y² = 6/(−4/3) = −9/2, что невозможно для действительных y. Других действительных решений нет.

Ответ: а) (−√(12/7), √(12/7)), (−2√(12/7), √(12/7)), (√(12/7), −√(12/7)), (2√(12/7), −√(12/7)); б) (1, 2), (−1, −2).