Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4. Решите уравнение: 1) (6^(x−2))^(x+1) = (1/6)^x · 36^(x+3); 2) 3 · 4^x + 2 · 9^x = 5 · 6^x.Фото задания

Ответ:

  1. Представим обе части как степени с основанием 6:

    \(6^{(x-2)(x+1)}=6^{-x+2(x+3)}=6^{x+6}\).

    Поскольку основания равны и больше 1, приравниваем показатели: \((x-2)(x+1)=x+6\).

    Получаем \(x^2-2x-8=0\), то есть \((x-4)(x+2)=0\).

    Следовательно, \(x=4\) или \(x=-2\).

  2. Разделим уравнение на положительное число \(6^x\):

    \(3\left(\frac{2}{3}\right)^x+2\left(\frac{3}{2}\right)^x=5\).

    Положим \(t=\left(\frac{3}{2}\right)^x>0\). Тогда \(\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac1t\), и получаем \(\frac3t+2t=5\).

    Умножим на \(t\): \(2t^2-5t+3=0\). Отсюда \((2t-3)(t-1)=0\), значит, \(t=\frac32\) или \(t=1\).

    Из \(\left(\frac32\right)^x=\frac32\) следует \(x=1\); из \(\left(\frac32\right)^x=1\) следует \(x=0\).

Ответ: 1) \(x=-2, 4\); 2) \(x=0, 1\).