4. Решите уравнение: а) 1/(x − 2)² − 1/(x − 2) − 6 = 0; б) 1/(x − 1)² + 4/(x − 1) − 12 = 0.

а) Область допустимых значений: \(x\ne2\). Сделаем замену \(t=\frac{1}{x-2}\). Уравнение примет вид \(t^2-t-6=0\), или \((t-3)(t+2)=0\). Поэтому \(t=3\) или \(t=-2\).

Если \(\frac{1}{x-2}=3\), то \(x-2=\frac13\), значит, \(x=\frac73\). Если \(\frac{1}{x-2}=-2\), то \(x-2=-\frac12\), значит, \(x=\frac32\). Оба значения допустимы.

б) Область допустимых значений: \(x\ne1\). Пусть \(t=\frac{1}{x-1}\). Тогда \(t^2+4t-12=0\), то есть \((t+6)(t-2)=0\). Получаем \(t=-6\) или \(t=2\).

Из \(\frac{1}{x-1}=-6\) следует \(x-1=-\frac16\), поэтому \(x=\frac56\). Из \(\frac{1}{x-1}=2\) следует \(x-1=\frac12\), поэтому \(x=\frac32\). Оба значения допустимы.

Ответ: а) \(x=\frac32,\frac73\); б) \(x=\frac56,\frac32\).