4. Решите уравнение: а) 20y/(36y² − 4) − (2y − 3)/(2 − 6y) = (5 − 2y)/(6y + 2); б) (x² + 3x + 4)(x² + 3x + 9) = 266.

а) Область допустимых значений: \(y\ne\dfrac13\), \(y\ne-\dfrac13\), поскольку знаменатели не должны обращаться в ноль.

Разложим знаменатели: \(36y^2-4=4(3y-1)(3y+1)\), \(2-6y=-2(3y-1)\), \(6y+2=2(3y+1)\).

Умножим уравнение на общий знаменатель \(2(3y-1)(3y+1)\):

\(10y+(2y-3)(3y+1)=(5-2y)(3y-1)\).

Раскроем скобки и перенесём слагаемые:

\(6y^2+3y-3=-6y^2+17y-5\),

\(12y^2-14y+2=0\), то есть \(6y^2-7y+1=0\).

\(D=49-24=25\), поэтому \(y=\dfrac{7\pm5}{12}\). Получаем \(y=1\) и \(y=\dfrac16\); оба значения входят в ОДЗ.

б) Обозначим \(A=x^2+3x\). Тогда

\((A+4)(A+9)=266\), откуда \(A^2+13A-230=0\).

\(D=13^2+4\cdot230=1089\), \(\sqrt D=33\). Следовательно, \(A=10\) или \(A=-23\).

При \(A=10\): \(x^2+3x-10=0\), то есть \((x+5)(x-2)=0\); получаем \(x=-5\) или \(x=2\).

При \(A=-23\): \(x^2+3x+23=0\). Дискриминант равен \(9-92=-83<0\), действительных корней нет.

Ответ: а) \(y=1,\dfrac16\); б) \(x=-5,2\).