4. Решите уравнение (а² - 9)x = a + 3.

Решение:

Дано уравнение \( (a^2 - 9)x = a + 3 \).

Сначала разложим выражение \( a^2 - 9 \) как разность квадратов:

\[ (a-3)(a+3)x = a+3 \]

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если \( a+3 \neq 0 \) (то есть \( a \neq -3 \)), то можно разделить обе части уравнения на \( a+3 \):

\[ (a-3)x = 1 \]

В этом случае \( x = \frac{1}{a-3} \).

2. Если \( a+3 = 0 \) (то есть \( a = -3 \)), то уравнение примет вид:

\[ (-3-3)(-3+3)x = -3+3 \]

\[ (-6)(0)x = 0 \]

\[ 0x = 0 \]

Это уравнение верно для любого значения \( x \).

3. Рассмотрим случай, когда \( a-3 = 0 \) (то есть \( a = 3 \)).

Если \( a=3 \), то \( a+3 = 6 \). Уравнение принимает вид:

\[ (3-3)(3+3)x = 3+3 \]

\[ 0 · 6x = 6 \]

\[ 0 = 6 \]

Это равенство неверно, значит, при \( a=3 \) уравнение решений не имеет.

Ответ:

• Если \( a = -3 \), то \( x \) — любое действительное число.
• Если \( a = 3 \), то решений нет.
• Если \( a \neq 3 \) и \( a \neq -3 \), то \( x = \frac{1}{a-3} \).