4. Решите уравнение (а² – 9)x = a + 3.

Задание 4. Решение уравнения с параметром

Дано уравнение: \( (a^2 - 9)x = a + 3 \)

Решение:

Это линейное уравнение с параметром \( a \). Для его решения рассмотрим различные случаи, зависящие от значения выражения \( a^2 - 9 \).

Шаг 1: Преобразуем выражение \( a^2 - 9 \)

Заметим, что \( a^2 - 9 \) — это разность квадратов, которую можно разложить как \( (a - 3)(a + 3) \).

Таким образом, уравнение примет вид:

\( (a - 3)(a + 3)x = a + 3 \)

Шаг 2: Рассматриваем случаи

Случай 1: \( a^2 - 9 = 0 \)

Это произойдет, когда \( a = 3 \) или \( a = -3 \).

• Подслучай 1.1: \( a = 3 \)
• Уравнение принимает вид: \( (3^2 - 9)x = 3 + 3 \)
• \( (9 - 9)x = 6 \)
• \( 0 · x = 6 \)
• \( 0 = 6 \)
• Это равенство ложно, поэтому при \( a = 3 \) уравнение не имеет решений.

• Подслучай 1.2: \( a = -3 \)
• Уравнение принимает вид: \( ((-3)^2 - 9)x = -3 + 3 \)
• \( (9 - 9)x = 0 \)
• \( 0 · x = 0 \)
• \( 0 = 0 \)
• Это равенство истинно для любого значения \( x \). Следовательно, при \( a = -3 \) уравнение имеет бесконечно много решений (любое действительное число \( x \) является решением).

Случай 2: \( a^2 - 9 ≠ 0 \)

В этом случае \( a ≠ 3 \) и \( a ≠ -3 \). Мы можем разделить обе части уравнения на \( a^2 - 9 \).

\( x = \frac{a + 3}{a^2 - 9} \)

Упростим дробь, разложив знаменатель:

\( x = \frac{a + 3}{(a - 3)(a + 3)} \)

Так как \( a ≠ -3 \), мы можем сократить \( (a + 3) \) в числителе и знаменателе:

\( x = \frac{1}{a - 3} \)

Таким образом, при \( a ≠ 3 \) и \( a ≠ -3 \) уравнение имеет единственное решение \( x = \frac{1}{a - 3} \).

Сводка решений:

• Если \( a = 3 \), решений нет.
• Если \( a = -3 \), \( x \) — любое действительное число.
• Если \( a ≠ 3 \) и \( a ≠ -3 \), то \( x = \frac{1}{a - 3} \).

Ответ:

• При \( a = 3 \) — решений нет.
• При \( a = -3 \) — \( x ∈ ℝ \) (любое действительное число).
• При \( a ≠ 3 \) и \( a ≠ -3 \) — \( x = \frac{1}{a - 3} \).