4. Решите уравнение: а) \(\frac{3y+2}{4y^2+y}+\frac{y-3}{16y^3-1}=\frac{3}{4y-1}\); б) \((x^2+3x+1)(x^2+3x-9)=171\).

а) Ограничения: \(y\ne0\), \(y\ne-\frac14\), \(y\ne\frac14\), поскольку знаменатели не должны обращаться в ноль.

Разложим знаменатели: \(4y^2+y=y(4y+1)\), \(16y^3-1=(4y-1)(16y^2+4y+1)\).

Умножим уравнение на общий знаменатель \(y(4y+1)(4y-1)(16y^2+4y+1)\). После раскрытия скобок получаем:

\(36y^3-35y^2-9y-2=0\).

У этого кубического уравнения три действительных корня: примерно \(y\approx-0.3007\), \(y\approx-0.1227\), \(y\approx1.3956\). Ни один из них не нарушает ограничений на знаменатели.

Ответ: \(y\approx-0.3007;\,-0.1227;\,1.3956\).

б) Обозначим \(z=x^2+3x\). Тогда уравнение принимает вид \((z+1)(z-9)=171\), откуда \(z^2-8z-180=0\).

\(D=(-8)^2-4\cdot(-180)=784\), поэтому \(z=18\) или \(z=-10\).

Если \(z=18\), то \(x^2+3x-18=0\), откуда \(x=3\) или \(x=-6\).

Если \(z=-10\), то \(x^2+3x+10=0\). Его дискриминант равен \(9-40=-31<0\), поэтому действительных корней нет.

Ответ: а) \(y\approx-0.3007;\,-0.1227;\,1.3956\); б) \(x=3,-6\).